你的预报有多准？

在新语丝上关于天气预报的概率计算讨论得非常热烈，起因是在一篇科普文章里，作者就天气预报准确率为８０％发表评论，说如果预报有雨，在降雨概率低的地方，你大可不必带伞。这里涉及到有关统计推断的几个重要概念：

 

１　什么是预报准确率？如果８０％准确率指十次下雨天里气象预报有八次提前预报有雨，那么我只要天天预报有雨，准确率岂不是１００％？如果８０％指十天里有八天气象预报正确，那么我们仍关心其中有多少比例是雨天预报有雨，晴天报晴正确。假设两者都是准确率为８０％，这是否说明气象预报比随机瞎猜更有效呢？这个问题成了新语丝上讨论的焦点之一。

 

２　先验概率是否影响对预报准确率的评价？如果一天为晴或雨的概率各５０％，且每天的气象预报均统计独立，那么８０％的晴天报晴雨天报雨准确率自然比随机瞎猜要强。可是，如果该地的降雨概率只有１０％，那么一直报晴的错误率只有１０％，尽管这对雨天的预报来说错误率为１００％。现在我们知道，单看预报准确率无法区分两类错误：晴天报雨和雨天报晴。你可以要求在雨天报雨准确率不低于８０％的条件下尽可能增大晴天报晴的概率，但是总体预测准确率不能保证仍是８０％。

 

３　如果按照Ｐ（准确率）＝Ｐ（晴天报晴）Ｐ（晴天）＋Ｐ（雨天报雨）Ｐ（雨天）来评价天气预报水平是否有意义？我们以某地降雨概率为１０％来评价以下预报机制：一直报晴的准确率为９０％，而８０％的晴天报晴雨天报雨其总体准确率也只有８０％！实际上，我们更关心相对于晴天和雨天的先验概率分布，预报能够带给我们多少新的信息。一直报晴并不增加任何新的信息，所以该预报没有价值。

 

４　预报有雨且已知该预报８０％晴天报晴雨天报雨准确率的情况下需要带伞吗？如果不麻烦，干嘛不？根据预报信息，降雨从先验概率０．１增长到后验概率０．３１，似乎雨和晴仍是三七开，晴的可能性大，预报并不影响带伞与否的决策。如果你考虑先验晴雨比为９：１而后验晴雨比为９：４，这变化完全归功于８０％的预报准确率。即使９０％的预报准确率也不过让后验雨和晴的比率变为五五开罢了。换句话说，气象预报提供的信息不足以改变你对天气的先验判断。

 

５　统计推断一定基于频率意义上的概率分布吗？如果你是贝叶斯学派的，那么你会说先验概率分布完全是人为假定的一种对不确定性的刻划，和频率无关，我们并不关心每天的气象预测是否对应相同条件下的独立实验，而是人为假定基于已有知识（除了天气预报），未来某一天的晴雨比为９：１。天气预报所提供的信息必须以给定晴天或雨天后，预报结果的似然函数形式给出。似然函数不必服从概率分布。在某些特定情况下，先验分布也可以不服从常规的概率分布。

 

６　目前的争论对预报准确性的理解有帮助吗？对熟悉贝叶斯理论的人来说，以上结果没什么好惊讶的，但是对靠直觉草率判断的人来说，还是要记住：写清所有假设然后再开始做推断。举个例子：两个人在犯罪现场留下他们的血迹，根据化验结果，一为Ｏ型（在当地人群中约占６０％），一为ＡＢ型（在当地人群中约占１％）。疑犯甲血型为Ｏ，与罪案现场血型之一相符。请问：此一证据是否增加该疑犯甲在罪案现场的指控？